Diskriminant nedir ?
Matematik bilimi içerisinde yer alan cebirsel kavramlardan olan diskriminant ikinci dereceden denklemler başta olmak üzere daha yüksek dereceli denklemlerin çözümlerinin elde edilmesinde kullanılır. Matris sistemleri içerisinde yer alan determinant hesaplamalarında da diskriminant kavramından yararlanılmaktadır.
Diskriminant ifadesinin gösterimi nasıldır ?
Takdir edersiniz ki hesaplama yaparken diskriminant şeklinde bir yazım bizim işimizi epey zorlaştırmaktadır. Bu nedenle diskriminant yazmak yerine daha basit bir ifade ya da sembol kullanmamız gerekmektedir. Burada da karşımıza Yunanca bir karakter olan delta harfi çıkmaktadır. Diskriminant ifadesi delta ile ifade edilir.
2. dereceden denklemlerde diskriminant nasıl hesaplanır ?
Diskriminant hesaplamaları en çok ikinci dereceden denklemlerin çözümlemesi yapılırken kullanılır. Diskriminant bize hem köklerin değerleri, hem aralarındaki ilişki hem de varlıkları hakkında bilgi verir. ax2+bx+c=0 şeklinde ifade edilen bir ikinci dereceden denklemin diskriminant değerini bulmak için denklemin katsayılarından yararlanılır.
Diskriminant değeri b2-4ac ifadesinin hesaplanması ile bulunur. Bulunan bu değer 0′dan büyükse denklemin iki reel kökü vardır. Eğer diskriminant değeri 0 ise denklemin çakışık kökleri bulunmaktadır, yani iki kök birbirine eşittir. Eğer bulunan değer 0′dan küçükse denklemin reel kökü yoktur. Fakat karmaşık (kompleks) kökleri bulunmaktadır.
Diskriminant değerini bulduğumuza göre artık denklemin köklerini bulmaya geçebiliriz. Denklemin birinci kökü x1=(-b+kök(delta))/2a, ikinci kök ise x2=(-b-kök(delta))/2a şeklindedir.
Yalnız şunu unutmamak gerekir. Eğer çözümlenecek ikinci dereceden denklem kolay bir şekilde çarpanlarına ayrılabiliyorsa çarpanlarına ayırarak işlemi sonlandırma yoluna gidilmelidir.
Konunun anlaşılması için hemen bir kaç örnek soru çözümü yapalım.
Soru: 3x2+4x+1=0 denkleminin köklerinin varlığını inceleyiniz.
Cevap: a=3, b=4 ve c=1 alınarak delta=16-4.3.1=4 bulunur. Delta pozitif olduğu için denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır diyebiliriz. Yukarıda verilen kök ifadeleri kullanılarak x1=-⅓ ve x2=-1 bulunur.
Soru: x2+6x+9=0 denkleminin köklerinin varlığını inceleyiniz.
Cevap: a=1,b=6,c=9 alınarak delta=36-4.9=0 bulunur. Delta sıfıra eşit olduğu için denklemin çakışık kökleri mevcuttur. Kök denklemi kullanılarak x1=x2=-3 bulunur.
Soru: x2+x+5=0 denkleminin köklerinin varlığını inceleyiniz.
Cevap: a=1,b=1,c=5 alınarak delta=1-4.5=-19 bulunur. Delta değeri 0′dan küçük olduğu için denklemin reel kökü yoktur. Denklemin kompleks kökleri mevcuttur.
Diskriminant kavramının 2. dereceden denklemlerin köklerinin bulunması aşamasında mutlaka öğrenilmesi gerekmektedir. Delta değerini hesaplamak konunun giriş kısmında ilk öğretilenlerdendir. Pratiklik kazandıkça, konunun ilerleyen kısımlarında bu değeri hesaplamaya gerek duymadan da soruları çözebilirsiniz. Aslında kolay olanı çarpanlara ayırarak kökleri bulmaya çalışmak. Tek sıkıntı köklerin ondalıklı sayılar ya da rasyonel değerler olması.
Diskriminant 2. dereceden denklemlerin köklerini bulmak için kullanılan matematiksel ifadelerden biridir. Unutulmamalıdır ki bu tür denklemlerin köklerini bulmak için diskriminant hesaplamak zorunlu değildir. Reel köklere sahip bütün ikinci dereceden denklemler öyle ya da böyle çarpanlarına ayrılarak hesaplanır. Burada zor olan kökleri verecek olan çarpanları yazabilmektir. Öyleki rasyonel köklere sahip olan denklemleri yazmak öyle her babayiğidin harcı değildir. Şöyle düşünün denklemin köklerinden biri 1,078 iken diğer 2,8576 olsun. Böyle bir denklemi ifade edebilmek o kadar da kolay değildir. Hele ki katsayıların hepsini tam sayı olacak şekilde yazmak müthiş zordur.
Diskriminant değerini hesaplamak basit bir dört işleme dayanmakla beraber, hesaplama sırasında denklemin katsayıları kullanılır. ax2+bx+c=0 şeklinde verilen ikinci dereceden bir denklem için diskriminant değeri delta=b2-4ac şeklinde formülüze edilebilir.
Bu değer hesaplandıktan sonra denklemin köklerini veren formüllerin içine intibak ettirilerek çözüme ulaşılır.
Önemli olan delta değerini hesaplarken kullanacağımız a ve c ile ifade edilen sayıların işaretlerine dikkat etmektir. İşaretleri denklem içinde yanlış şekilde kullanırsanız büyük olasılıkla diskriminant değerini yanlış bulursunuz, doğal olarak denklemin köklerini de.
Bize verilen bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için kullanabileceğimiz yöntemlerden biridir diskriminant. Yalnız diskriminant değerini bulmak köklerin varlığı hakkında bize bilgi sunsa da, onların numeric değerlerini tam olarak vermez. Diskriminant değeri kök formülü içerisine konulduğu zaman anlamlı bir sonuç elde edilir.
Diskriminant değerini bulmak ara bir basamaktır. Ki çoğu zaman ikinci dereceden denklemlerin kökleri ile ilgili soruları yanıtlamak için bu değeri bulmamız istenmez. Onun yerine denklemin katsayılarını doğru şekilde kullanarak cevabı bulmamız istenir.
