Küp nedir ?
Küp on iki ayrıtı ve sekiz sekiz köşesi bulunan, tüm ayrıtlarının birbiri ile dik kesiştiği ve eşit uzunlukta olduğu üç boyutlu geometrik bir şekil olarak tanımlanabilir. Küpün tüm yüzeyleri kare şeklindedir ve tamamının alanı birbirine eşittir. Dolayısı ile küpün açılımındaki karelerin kenarları birbirine eşit olmaktadır. Altı tane yüzeyi bulunan küpün bütün yüzeyleri birbirinin aynısıdır. Küpün bir yanal yüzeyinin alanını hesaplamak için karenin alanı formülünden yararlanılır.
Küp platonik bir cisim olup düzgün altı yüzlü olarak da bilinir. Platonik cisimler deyince aklımızda ilk beliren küp olsa da tetrahedronlar, oktahedronlar,dodekahedronlar ve ikosahedronlar da bu sınıflandırma içinde yer almaktadır. Bu cisimlere ilişkin ilk açıklama kavramın isim babası olarak da kabul edilen Platon tarafından Timaeus adlı eserinde yapılmıştır.
Küp ifadesi aynı zamanda birbiri ardına üç kere çarpılan sayılar içinde kullanılmaktadır. Mesela 5×5×5 şeklinde matematiksel işlem 5′in küpü şeklinde ifade edilir.
Bir küpün hacmi ve toplam yüzey alanı nasıl bulunur ?
Bir küpün hem hacmini hem de yüzey alanını bulmak için küpün bir kenar uzunluğuna ihtiyacımız vardır. Küpün hacim ve toplam yüzey alanını veren formülleri biliyorsak ya da mantığımızla bulabiliyorsak sonuca kolay bir şekilde ulaşabilir.
Küpün bir kenar uzunluğu a olmak üzere hacmi a3, toplam yüzey alanı ise 6.a2 formülü ile bulunur. Bir kenar uzunluğu 4 cm olan bir küpün hacmi 4 sayısının küpü alınarak 64 olarak bulunabilir. Yüzey alanı ise 6.a2 formülü kullanılarak 96 bulunur.
Küpün kenar uzunluğu 10 cm olsun. Bu durumda küpün hacmi 1000 cm3 ve yüzey alanı da 600 cm2 olacaktır. Biraz pratik yaparak siz de kolay bir şekilde bu hesaplamaları zihinden yapabilirsiniz.
Bir küpün toplam yüzey alanını hesaplamak için öncelikle bir yüzünün alanını hesaplamak gerekir. Küpün açılımında her bir yüzey bir kareye tekabül etmektedir. Karenin alanı hesaplanarak küpün bir yüzeyinin alanı hesaplanır. Küpün altı tane yanal yüzeyi olduğu için de bulduğumuz bu değer altı sayısı ile çarpılarak küpün toplam yüzey alanı hesaplanır.
Bir küpün hacmini hesaplamak için öncelikle küpün taban alanı belirlenir ve bulunan bu değer tabana dik olan yükseklik değeri ile çarpılır. Küpün açılımı yapıldığı zaman tabanın iki boyutlu bir kare olduğu görülecektir. Bu karenin alanı da, a kenar uzunluğuna sahip bir kare için a2 olacaktır. Yükseklik uzunluğu da a olduğu için hacim a3 olarak karşımıza çıkacaktır.
Soru: Bir ayrıtının uzunluğu a birim olan küpün hacmi ve toplam yüzey alanı birbirine eşittir. a değeri kaça eşittir ?
Cevap: Küpün hacmi ve toplam yüzey alanı eşitse a3=6a2 eşitliğinin sağlanması gerekmektedir. Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa a değeri 6 olarak bulunacaktır.
Soru: Bir ayrıtının uzunluğu a birim olan küpün hacmi, toplam yüzey alanından 128 birim fazladır. Bu küpün bir ayrıtının uzunluğu nedir ?
Cevap: Küpün hacmi a3, küpün toplam yüzey alanı 6a2 olup aralarındaki fark a3-6a2 olacaktır. Soruda bu değerin 128 sayısına eşit olduğu söylenmiş. Dolayısı ile a3-6a2=128 olacaktır. Bu matematiksel işlem doğru yapıldığı takdirde küpün bir ayrıtının uzunluğu 8 birim olarak bulunacaktır.
Soru: Ayrıtlarının uzunlukları birer tam sayı olan iki küpün hacimleri arasında 511 fark vardır. Bu iki küpün ayrıtlarının toplamı ve farkı ne olabilir ?
Cevap: Küplerin ayrıt uzunluklarını a ve b olarak kabul edersek hacimleri arasındaki fark a3-b3 olacaktır. Bu farkın 511 ve ayrıt uzunluklarının tam sayı olduğunu biliyoruz. Eşitlik ayrıt uzunluklarının 8 ve 1 birim olması halinde sağlanacaktır. Dolayısı ile küpün ayrıt uzunlukları farkı 7, toplamı ise 9 olacaktır. Gerekli matematiksel işlemler yapıldığı takdirde toplam yüzey alanları arasındaki fakın da 378 olacağı görülecektir.
Soru: Ayrıtlarının uzunlukları birer tam sayı ve aralarındaki fark 2 birim olan iki küpün hacimleri arasındaki fark da 152′dir. Bu iki küpün ayrıtlarının toplamı ve farkı ne olabilir ?
Cevap: Küplerin ayrıt uzunluklarını a ve a-2 olarak kabul edersek hacimleri arasındaki fark a3-(a-2)3 olacaktır. Bu farkın 152 ve ayrıt uzunluklarının hem tam sayı hem de aralarındaki farkın 2 olduğunu biliyoruz. Gerekli matematiksel işlemler doğru bir şekilde yapıldığında küplerden birinin ayrıtını 6 birim, diğerininkini de 4 birim olarak buluruz. Dolayısı ile bizden istenen cevaplar sırası ile 10 ve 2 olacaktır.
Bir küpün yüzey köşegeni ve cisim köşegeni uzunluğu hesaplanırken de ayrıt uzunluğundan faydalanılır. Hatta bazen sorularda bizzat köşegen uzunlukları verilir. Öğrenciden önce ayrıt uzunluğunu bulması, daha sonrasında ise hacim ve alan hesaplaması yapması beklenir.
ÖSYM asla size doğrudan küpün hacmini ya da yüzey alanını hesaplatmaz. Hesaplamaya yönelik işlemler çoğu zaman bir matematiksel işlemin parçası olarak karşınıza çıkar. AYT, TYT ve KPSS sınavlarında matematik sorusu olarak sorulma ihtimali yüksek konulardandır.
