Parabol nedir ?
Parabol bir düzlem üzerindeki doğrultman adı verilen bir d doğrusu ile odak noktası olarak tanımlanan bir F noktasına uzaklıkları eşit olan noktalar kümesine denir. Paraboller ikinci dereceden fonksiyonlar olup f(x)=ax2+bx+c şeklinde matematiksel ifadelerdir. İkinci dereceden fonksiyon f(y)=ay2+by+c şeklinde de olabilir. Böyle bir durumda parabolün kolları yukarı ya da aşağı değil, sağa ya da sola bakacaktır.
Bir parabolün kollarının yönü nasıl belirlenir ?
Bir parabolün kollarının yönü ikinci dereceden denklemin katsayılarına bakılarak belirlenir. f(x)=ax2+bx+c şeklinde verilen bir parabolde a katsayısı pozitif ise parabolün kolları yukarı, negatifse aşağı doğru bakacaktır. Kolların yukarı olduğu durumda parabolün tepe noktası minimum, kolların aşağıda olduğu durumda ise tepe noktası maksimum değerini alacaktır. Aynı durum f(y)=ay2+by+c şeklinde fonksiyonlar için de geçerli olup, parabollerin kolları sağa ya da sola doğru açık olacaktır.
Soru: f(x)=4x2+5x+2 ve f(x)=-3x2+8x+20 parabollerinin kollarının yönü hakkında ne söylenebilir ?
Cevap: f(x)=4x2+5x+2 parabolünde a katsayının değeri 4′e eşittir. A katsayısı pozitif değerli olduğu için parabolün kollarının yönü yukarı doğrudur. Parabolün tepe noktası da o fonksiyonun minimum değeridir.
f(x)=-3x2+8x+20 parabolünde ise durum tam tersidir. A katsayısı -3 olup parabolün kolları aşağı bakmaktadır. Parabolün tepe noktası da fonksiyonun maksimum değeri olacaktır.
Bir parabolün x eksenini kesmesi veya hiç kesmemesi, x eksenine teğet olması ne anlama gelmektedir ?
Bir parabol, kartezyen koordinat sistemi üzerinde x eksenini en fazla iki noktada kesebilir. Eksene teğet olabilir ya da hiç kesmeyebilir. Belirleyici olan ikinci dereceden fonksiyonun diskriminant değeridir. Parabolün x eksenini kestiği noktalar denklemin kökleridir. Parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi denklemin iki gerçel kökü olduğu anlamına gelmektedir. Parabolün x eksenine bir noktada teğet olması denklemin bir çift kökü olduğu anlamına gelmektedir. Bu kök de teğet noktasının apsis değerine eşittir. Bir parabol x eksenini kesmezse bilinmelidir ki o denklemin reel bir kökü yoktur. Kökler kompleks yapıdadır.
Soru: f(x)=5x2+3x+-6 parabolünün x eksenini kestiği yerler ile ilgili ne söylenebilir ?
Cevap: Öncelikle söz konusu fonksiyonun diskriminant değerini belirleyelim. Delta=b2-4ac=9-4.5.(-6)=129 değerini alacaktır. Parabolün kolları yukarı yönlü olup iki farklı noktada x eksenini kesmektedir. Dolayısı ile tepe noktası da x ekseninin altında bir noktada olacaktır.
Soru: f(x)=3x2+5x+4 parabolünün x eksenini kestiği yerler ile ilgili ne söylenebilir ?
Cevap: Öncelikle söz konusu fonksiyonun diskriminant değerini belirleyelim. Delta=b2-4ac=25-4.3.4=-23 değerini alacaktır. Parabolün kolları yukarı yönlü olup x eksenini hiç bir noktada kesmemektedir. Denklemin kökleri kompleks yapıda olup reel kökü yoktur.
Soru: f(x)=x2+4x+4 parabolünün x eksenini kestiği yerler ile ilgili ne söylenebilir ?
Cevap: Öncelikle söz konusu fonksiyonun diskriminant değerini belirleyelim. Delta=b2-4ac=16-4.1.4=0 değerini alacaktır. Parabolün kolları yukarı yönlü olup x eksenine bir noktada teğettir. Bo noktanın apsis değeri denklemin köküdür. Denklemin iki kökü olup bu kökler çakışıktır. Örnek soru için x1=x2=-2.
Bir parabolün tepe noktasının koordinatları nasıl bulunur ?
Bir parabolün tepe noktası o parabolün ordinat değerinin minimum ya da maksimum değere eşitlendiği noktadır. Parabolün tepe noktası matematiksel işlemlerde (r,k) olarak gösterilir. r ve k değerleri baz alınarak, verilen fonksiyon f(x)=a(x-r)2+k şeklinde yazılabilir. Söz konusu koordinatlar için geçerli formüller katsayılara bağlı olarak şu şekildedir.
r=-b/2a ve k=(4ac-b2)/4a şeklindedir. k noktasının nümerik değeri f® ile de bulunabilir.
Soru: f(x)=3x2+2x+5 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz ?
Cevap: Öncelikle tepe noktasının apsis değerini belirleyelim. Verilen formülleri kullanarak r=-b/2a=-2/(2.3)=-⅓ olarak bulunur. k=(4ac-b2)/4a
Soru: f(x)=-x2+x+3 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz ?
Cevap: Parabolün kollarının aşağı yönlü olduğu aşikardır. Dolayısı ile tepe noktası fonksiyonun maksimum değeri olacaktır. Formülleri kullanarak r=-½ ve k=((4.(-1).3)-1)/(4.(-1)=9/4 bulunur. Parabolün tepe noktası (-½,9/4) olacaktır.
Parabolün tepe noktasını bulmak için uygulanabilecek diğer bir yöntemde fonksiyonu f(x)=ax2+bx+c şeklinden f(x)=a(x-r)2+k şekline dönüştürmektir.
Soru: f(x)=x2+6x+4 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz ?
Cevap: f(x)=x2+6x+4 parabolü f(x)=(x+3)2-5 şeklinde de yazılabilir. Denklemin bu hali ile tepe noktası (-3,-5) noktasına tekabül eder. Yani fonksiyon apsisin -3 olduğu noktada minimum değeri olan -5 değerini alacaktır.
Soru: f(x)=-2x2+4x+6 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz ?
Cevap: f(x)=-2x2+4x+6 parabolü f(x)=-2(x-1)2+8 şeklinde de yazılabilir. Dolayısı ile parabolün tepe noktası (1,8) noktası olacaktır. Yani fonksiyon apsisin 1 olduğu noktada maksimum değeri olan 8 değerini alacaktır.
Parabolün tepe noktasını bulmak için türev işleminden de yararlanabiliriz. Çünkü birinci türevin sıfır olduğu noktada fonksiyon minimum ya da maksimum değerini alacaktır. Kolların yönünden tepe noktasının minimum mu yoksa maksimum mu değeri aldığını anlayabiliriz.
Soru: f(x)=2x2+4x+8 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz ?
Cevap: f(x)=2x2+4x+8 fonksiyonunun birinci türevini alırsak f’(x)=4x+4 sonucunu buluruz. Bu değeri 0 sayısına eşitleyerek fonksiyonun tepe noktasının apsis değeri x=-1 bulunur. Verilen fonksiyonda f(-1)=6 değerine eşit olduğu için tepe noktasının koordinatları (-1,6) noktası olarak karşımıza çıkar. Parabolün kolları yukarı doğru olduğu için bulduğumuz bu nokta yerel minimum noktamızdır.
Yerel minimum ve yerel maksimum noktalarından çizilen teğetler x eksenine paraleldir. Bu doğruların eğimleri de doğal olarak 0′a eşittir.
Paraboller ve ikinci dereceden denklemler konusu ÖSYM tarafından istisnasız her sene sorulan sorulardandır. Verilen bir fonksiyonun grafiğini yorumlayabilmek sınava girecek öğrenciler açısından önemlidir. Grafik hakkında fikir yürütememek, terminolojiye hakim olmamak sorunun çözümünü zorlaştıracaktır. Soruda verilen terimlerin matematiksel ve fiziksel olarak ne ifade ettiğini bilmek önemlidir. Sorular grafiksel olarak sorulabileceği gibi metin olarak da verilebilir. Bazen metin olarak verilen bilgiyi grafiksel olarak ifade etmek gerekebilir. Çoğu zaman ilk belirlemeniz gereken şey denklemin katsayılarıdır. Bu katsayılar belirlenirken de parabol üzerindeki bazı noktaların koordinat değerleri kullanılır. Parçadan bütüne ya da bütünden parçaya gidilerek sorunun çözümüne ulaşılır.
